A disputa é acirrada, as vantagens e desvantagens de um e de outro se equivalem. Assim, a opção fica mais por conta de preferências pessoais ou de um projeto específico.

Se você é programador para soluções de Internet ou um WebDesigner o ideal é conhecer e saber usar as duas soluções. Assim, ficará mais à vontade para optar conforme o projeto e, o melhor, é poder fazer esta opção conscientemente, sabendo que está trilhando determinado caminho com um objetivo muito claro.
Para quem está começando na programação Web é interessante conhecer o ASP com Access. Isto porque já vem embutidos no Windows, o Access é similar ao Visual Basic e há muitas oportunidades de trabalho para quem conhece estes programas. A opção pelo ASP, seja com Access ou SQL, também pode ser a preferida por aqueles que gostam de usar IDEs, aquelas interfaces gráficas que ajudam a montar programas, como o FrontPage e o Dreamweaver.

À medida em que o programador vai se desenvolvendo pode sentir a necessidade de usar algo mais robusto e técnico, tipo de “profissional para profissional”. E neste caminho provavelmente vai se identificar com o PHP e MySQL, principalmente se tiver o hábito de montar sites usando um simples editor de textos e não interfaces gráficas da Microsoft, Adobe e Borland.

Confira as vantagens e desvantagens de cada um:
Vantagens e desvantagens do PHP
Vantagens e desvantagens do ASP